Divisão por (x – a) - Parte II

No último post introduzimos o início do conteúdo, mostrando as aplicações do Teorema do Resto. Hoje, apresentaremos conceitos importantes e necessários para dar continuidade ao nosso conteúdo. Acompanhem.

De modo geral, para a divisão de polinômios por binômios do tipo x - a, com a C, vale o seguinte teorema, chamado teorema do resto:

O resto r da divisão de um polinômio p(x) por um binômio do tipo x - a, com a C, é igual a p(a), isto é, r = p(a).

Demonstrando:

De acordo com a definição de divisão, temos:

p(x) = (x - a) . q(x) + r(x), sendo q(x) o quociente e r(x) o resto.

Como x - a tem grau 1, o grau do resto é 0, isto é, o resto é nulo. Portanto, r(x) é um polinômio constante r. Então, podemos escrever a igualdade acima da seguinte forma:

p(x) = (x - a) . q(x) + r

Calculando p(a), temos:

p(a) = (a - a) . q(a) + r --> p(a) = r

Logo, o resto r da divisão é igual a p(a).

Exemplo:

O resto da divisão de m(x) = x³ - 5x² + x - 1 por h(x) = x - 7 é dado por:

Raiz do divisor: x - 7 = 0 --> x = 7

Resto r: m(7) = 7³ - 5 . 7² + 7 - 1 = 104, isto é, r = 104

Depois desta breve demonstração e do exemplo apresentado, acredito que os conceitos acerca do Teorema do Resto estejam mais claros a todos. No próximo post falaremos sobre o Teorema de D'Alembert, que, na realidade, trata-se de uma consequência direta do Teorema do Resto.

Na última segunda-feira começaram as aulas de reforço da 301, não deixe de frequentar!

Abraço!

Divisão por (x – a) - Parte I

Iremos abordar a divisão por (x-a) aos poucos, para melhor entendimento de toda a turma. Nosso primeiro post sobre o assunto não virá do livro, e sim de um outro site bem bacana que resume uma importante atividade que necessita ser entendida, que é o Cálculo do Resto. Acompanhem:

Cálculo do Resto:

Na divisão de um polinômio P(x) por (x – a) observamos que o resto, se não for nulo, terá grau zero, isto é, será sempre um número real r. Então:

P(x) (x - a) · Q (x) + r

em que Q(x) é o quociente dessa divisão. Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos:

P(a) = (a – a) · Q(a) + r

Logo, P(a) = r

Verificamos, assim, que:

Exemplos:

1^o) Calcular o resto da divisão de

P(x) = x⁴ – 3x² + 2x – 1 por x – 2.

Resolução:

r = P(2) = 16 – 3 · 4 + 2 · 2 – 1

Assim, r = 7

2^o) Calcular o resto da divisão de

P(x) = x⁴ + 2x³ + 3x² – 6 por x + 2

Resolução:

x + 2 = x – (–2)

Então: r = P(–2)

r = (–2)⁴ + 2 (–2)³ + 3(–2)² – 6

r = 6

Entenderam? Essa parte é bem fácil. É só você pegar o divisor, que, levando em conta o primeiro exemplo é x - 2 e isolar o x. Ficaria x = 2. Esse resultado é chamado de raiz do divisor.

Feito isso, substituimos este 2 naquela equação que está sendo dividida, e temos como resultado, no primeiro exemplo, r = 7. Este "r" é o resto.

Como veremos, o grau do resto tem de ser menor que o grau do divisor. Lembrando que o grau de um polinômio não-nulo é o maior expoente da variável dentre os termos de coeficientes não-nulos. O grau do divisor é 1, pois o expoente de x é 1. Já o grau do resto é 0, pois não temos "x" no resto obtido.

Por hoje é isso aí pessoal. Espero que este breve comentário tenha esclarecido um pouco as dúvidas em relação ao Cálculo do Resto. Qualquer outro questionamento pode ser feito à um dos integrantes do grupo, Eduardo ou Bárbara. Outra forma de esclarecer eventuais dúvidas é comparecendo nas segundas-feiras à tarde no colégio, das 14h ás 15h. Estaremos lá.

Abraço!

Apresentação

Boa tarde a todos. Me chamo Eduardo Wilsmann e venho por meio deste apresentar a vocês o nosso blog. Nosso porque ele não pertence apenas a mim e à Bárbara, como também a todos vocês.

Reuniremos aqui uma série de vídeo-aulas, resumos e explicações sobre a divisão de polinômios, focando principalmente na divisão por polinômios do tipo x-a.

Iremos estudar um caso particular de divisão de polinômios em que o dividendo é um polinômio com grau maior do que ou igual a 1 e o divisor é um polinômio de grau 1 do tipo x-a, com a pertencendo a C.

Espero que todos vocês gostem do blog e os convido para que desde já opinem na seção de comentários, enviando sugestões, dicas e/ou críticas construtivas.

Abraço!